For suitable functions \(f(t)\), the Laplace transform is the integral
\(\displaystyle \mathcal{L}(f(t))=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt\)
Here are Laplace transformation of some functions
\(\textit{f(t)}\hspace{5cm} \textit{F(s)}=\mathcal{L}(f(t))\)
\(\bullet\;\; 1 \hspace{5cm} \displaystyle \frac{1}{s}\)
\(\bullet\;\; t^n , n=1,2,3 \;\;\; \;\;\; \;\;\; \; \;\;\; \;\;\; \;\;\;\; \displaystyle \frac{n!}{s^{n+1}}\)
\(\bullet\;\; e^{at} \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\;\;\;\; \; \displaystyle \frac{1}{s-a}\)
\(\bullet\;\; \sqrt{t} \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\ \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\displaystyle \frac{\sqrt{\pi}}{2s^{\frac{3}{2}}}\)
\(\bullet\;\; \sin(at) \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \displaystyle \frac{a}{s^2+a^2}\)
\(\bullet\;\; \cos(at) \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \displaystyle \frac{s}{s^2+a^2}\)
\(\bullet\;\; \sinh at \;\;\; \;\;\; \;\;\; \; \;\;\; \;\;\; \;\;\;\;\;\; \;\;\; \displaystyle \frac{a}{s^2-a^2}\)
\(\bullet\;\; \cosh at \;\;\; \;\;\; \;\;\; \; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \displaystyle \frac{s}{s^2-a^2}\)
\(\bullet\;\; t\sin(at) \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\;\; \displaystyle \frac{2as}{(s^2+a^2)^2}\)
\(\bullet\;\; t\cos(at) \;\;\; \;\;\; \;\;\; \; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \displaystyle \frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}\)
\(\bullet\;\; \sin(at+b) \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \displaystyle \frac{s\sin b+a\cos b}{s^2+a^2}\)
\(\bullet\;\; \cos(at+b) \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \; \;\;\; \;\;\; \;\;\;\;\;\; \displaystyle \frac{s\cos b-a\sin b}{s^2+a^2}\)
\(\bullet\;\; e^{at}\sin(bt) \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \displaystyle \frac{b}{(s-a)^2+b^2}\)
\(\bullet\;\; e^{at}\cos(bt) \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \displaystyle \frac{s-a}{(s-a)^2+b^2}\)
\(\bullet\;\; t^{p} \;\;, p > -1 \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\ \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \displaystyle \frac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}}\)
\(\bullet\;\; t^{n-\frac{1}{2}} \;\;, n=1,2,3.. \;\;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \displaystyle \frac{1.3.5...(2n-1)\sqrt{\pi}}{2^n s^{n+\frac{1}{2}}}\)
\(\bullet\;\; e^{at}\sinh bt \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \displaystyle \frac{b}{(s-a)^2-b^2}\)
\(\bullet\;\; e^{at}\cosh bt \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \displaystyle \frac{s-a}{(s-a)^2-b^2}\)
\(\bullet\;\; e^{at}t^n\;\;n=1,2,3... \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \displaystyle \frac{n!}{(s-a)^{n+1}}\)
\(\bullet\;\; e^{at}f(t) \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \; \;\;\; \;\;\; \;\;\;\displaystyle F(s-a)\)
\(\bullet\;\; t^nf(t)\;n \in \mathbb{N} \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\;\; \;\;\; \;\;\; \displaystyle (-1)^nF^{n}(s)\)
\(\bullet\;\; \displaystyle\int_{0}^{t}f(t-\tau)g(\tau)d\tau \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \displaystyle F(s)G(s)\)
\(\bullet\;\; f'(t) \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\;\displaystyle sF(s)-f(0)\)
\(\bullet\;\; f''(t) \;\;\; \;\;\; \;\;\; \;\;\; \; \;\;\; \;\;\; \;\;\;\;\;\; \displaystyle s^2F(s)-sf(0)-f'(0)\)
\(\bullet\;\; f^{n}(t)\;\;\; \;\;\; \;\;\; \; \;\;\; \;\displaystyle s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)...-f^{n-1}(0)\)
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